eStoyanov_MathForum

от **r2d2** » 06 Апр 2011 13:20

Докажете, че $a^2+b^2+R^2 \ge c^2$ . Кога имаме равенство?

от **ganis** » 09 Апр 2011 08:47

Нека Р е симетрична на О спрямо АВ.
Тогава CN-медиана в $\Delta COP; \Delta ABC$ =>
1) $4CN^2=2CO^2+2CP^2-OP^2$ ; 2) $4CN^2=2a^2+2b^2-c^2$
=> $2CP^2+2R^2-4ON^2=2a^2+2b^2-c^2$
$2CP^2+2R^2-4(R^2-\frac{c^2}{ 4} )=2a^2+2b^2-c^2$ => $CP^2=a^2+b^2+R^2-c^2\ge 0$

Равенство. Ясно е, че трябва $CP=0=>C\equiv P=>O-$ външна за АВС=>АВС- тъпоъгълен.
Тогава $P\in S_{AB}=>C\in S_{AB}=>\Delta ABC$ -равнобедрен=>
$OC=OP=R=>ON=\frac{R}{2 } =>c=R\sqrt{3} =>\alpha =\beta =30^\circ ; \gamma =120^\circ$

eStoyanov_MathForum

Ако искате да се регистрирате, направете запитване на: http://eStoyanov.net

Едно неравенство

Едно неравенство

Re: Едно неравенство

Кой е на линия