eStoyanov_MathForum

от **r2d2** » 29 Юни 2013 12:00

В $\Delta ABC,\angle BAC=2\angle ABC$ . $I$ е центърът на вписаната окръжност.
Да се докаже, че $AC+AI=BC$ .
Aко $AC=BI$ да се намерят ъглите на триъгълника.

от **estoyanov** » 02 Юли 2013 12:28

: 4ert1.png (14.22 KiB) Прегледано 13664 пъти

Построяваме $CD=AC, D\in BC$ . Ако означим $\measuredangle ABC=\beta$ , лесно пресмятаме $\measuredangle ACB=180^{0} -3\beta ,\measuredangle ADC=\frac{3\beta }{2},\measuredangle ADB=180^{0}-\frac{3\beta }{2}$ . Но $\measuredangle AIB=90^{0}+\frac{180^{0}-3\beta }{2}=180^{0}-\frac{3\beta }{2}$ , което заедно с $\measuredangle IAB=\measuredangle ABC=\beta$ и общата страна АВ ни води до еднаквостта на триъгълниците ABI и BAD. От последното пък следва, че AI=BD. С това първата част на задачата е доказана.

За втората част използваме от първата, че $AC+AI=BC\Leftrightarrow AI+BI=BC\Leftrightarrow BD+AD=BC\Leftrightarrow AD=DC$ . Сега от ъглите на ADC получаваме $180^{0}-3\beta =\frac{3\beta }{2}$ , откъдето $\beta =40^{0}$ . Така ъглите на триъгълника са 40, 80 и 60 градуса.

от **r2d2** » 07 Юли 2013 16:20

estoyanov написа:Сега от ъглите на ADC получаваме $180^{0}-3\beta =\frac{3\beta }{2}$ , откъдето $\beta =30^{0}$ . Така ъглите на триъгълника са 30, 60 и 90 градуса.

Моето решение е подобно (през I построявам || на АВ). Ама все пак $\beta=40^\circ$

от **estoyanov** » 07 Юли 2013 17:04

Е, да. Объркал съм сметките!

Поправям го.

eStoyanov_MathForum

Ако искате да се регистрирате, направете запитване на: http://eStoyanov.net

А=2В

А=2В

Re: А=2В

Re: А=2В

Re: А=2В

Кой е на линия