eStoyanov_MathForum

от **estoyanov** » 13 Дек 2010 10:46

Задача. Решете уравнението $x^{6}-x^{3}-2x^{2}-1=2(x-x^{3}+1)\sqrt{x}$ .

от **ganis** » 26 Яну 2011 11:57

Емо, поздравления за хубавите задачи във форума. Направо са си безценни съкровища:)
Тази специално ми достави удоволствие. Най- трудното беше да представя уравнението чрез два точни квадрата.
Ето го и него:
$(x^3+\sqrt{x} )^2=(1+\sqrt{x} (x+1))^2$ ; $x>0$
Ясно е, че и двата израза в скобите са положителни=>
$x^3+\sqrt{x} =1+x\sqrt{x} +\sqrt{x} =>x^3-1=x\sqrt{x}$ ; $x\ge 1$
$x^6-2x^3+1=x^3=>x^6-3x^3+1=0$ ; $t=x^3$ .....
После е ясно.

от **r2d2** » 26 Яну 2011 14:19

$x^{6}-x^{3}-2x^{2}-1=2(x-x^{3}+1)\sqrt{x}$ . Полагам $\sqrt x = t>0$ и получавам $t^{12}+2t^7-t^6-2t^5-2t^4-2t^3-2t-1=0$

$(t^6+t)^2-t^2-(t^3+t)^2+t^2-2t^3-2t-1=0 \Rightarrow (t^6+t)^2=(t^3+t)^2+2(t^3+t)+1=(t^3+t+1)^2$ .
Откъдето $(t^6+t)^2=(t^3+t+1)^2$ или $t^6-t^3-1=0$ . Полагам $z=t^3$ .
$z^2-z-1=0 \Rightarrow z=\frac{1+\sqrt{5}}{2},t=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{1/3},x=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{2/3}$ .

Просто я разписах (нямам си работа!). :oops:

eStoyanov_MathForum

Ако искате да се регистрирате, направете запитване на: http://eStoyanov.net

Кьомал - В.4275

Кьомал - В.4275

Re: Кьомал - В.4275

Re: Кьомал - В.4275

Кой е на линия