eStoyanov_MathForum

Задача 1. Докажете, че $\sqrt{2}+ \sqrt{3}$ може да бъде корен на многочлен с цели коефициенти.

Задача 2. Може ли степен с ирационална основа и ирационален показател да бъде рационално число?

Задача 3. Решете системата $\begin{array}{|l} {x+y+xy=41} \\ {x+z+xz=26} \\ {y+z+yz=125} \end{array}$ .

Задача 4. Намерете стойностите на реалния параметър $a$ , за които корените на уравнението $x^{3}+ax^{2}+56x-64=0$ са последователни
---------- членове на геометрична прогресия.

Задача 5. За кои стойности на реалния параметър $m$ уравненията - $x^{3}+mx+1=0$ - и- $x^{4}+mx^{2}+1=0$ --имат общ корен?

Задача 6. В триъгълник $ABC$ , $AB=11,BC=9,CA=10$ . $M$ е точка от $AB$ , а $N$ - от $AC$ и $P_{AMN}=P_{MBCN},$ а
----------- $S_{AMN}= S_{MBCN}$ . Пресметнете стойноста на сумата $\frac{1}{AN}+\frac{1}{AM}$ .

Ще има още!!!

Задача 7. Да се намерят стойностите на реалния параметър $a$ , за които неравенството

----------- $(a-1)\left ( \frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1} \right )^{2}-4a\left ( \frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1} \right )+9(a-1)\leq 0$

------------е изпълнено за всяко реално $x$ .

Задача 8. Да се намерят стойностите на реалния параметър $a$ , за които уравнението

----------- $2\left ( x^{2}+x+1 \right )^{2}-a\left ( x^{2}+x+1 \right )\left ( x^{2}+1 \right )+\left ( x^{2}+1 \right )^{2}=0$

-----------има поне един реален корен.

Задача 9. Да се намерят стойностите на реалния параметър $a$ , за които неравенството

----------- $\sqrt{4x+1}+2ax-2x+a-1\geq0$

----------- е изпълнено за всяко $x\in\left [ 0;2 \right ]$ .

И още!!! И още!!!

Задача 10. Докажете, че общите хорди на три, две по две пресичащи се и неминаващи и трите през една точка, окръжности имат обща точка.
------------(Задачата е решавана на предишни занимания! Да се припомни!)

Задача 11. Точката $M$ е среда на страната $AB$ на $\Delta ABC$ . Ако $AP$ е височината към страната $BC$ , а $BQ$ е височината към страната $AC$ на

------------ триъгълника и правата $PQ$ пресича правата $AB$ в точка $T$ , да се докаже, че $TH\perp CM$ , където $H$ е ортоцентъра на триъгълника
----------- $ABC$ .

Задача 12. За една аритметична прогресия е дадено, че - $a_{5} + a_{6} = k^{2} - k$ - и - $a_{2} - S_{4} - a_{5}=-k^{2} + k - 2$ .

-------------Да се намери $S_{10}$ на геометрична прогресия, първият член на която е равен на първия член на аритметичната прогресия, а частното и е

------------ равно на най-голямата стойност на функцията $y=f(x)=\frac{x}{ 1+x^{2}}$

Задача 13. Намерете стойностите на реалния параметър $a$ , за които корените на уравнението

------------ $x^{3}-(4a+3)x^{2}+4a(a+2)x-4(a^{2}-1)=0$

------------са последователни членове на аритметична прогресия.

Задача 14. Уравнението $x^{2}+ax+b=0$ има два различни реални корена. Намерете броя на различните реални корени на уравнението

------------ $x^{4}+ax^{3}+(b-2)x^{2}-ax+1=0$ .

Задача 15. Намерете всички стойности на $x$ , за които неравенството

------------ $(2-a)x^{3}+(1-2a)x^{2}-6x+5+4a-a^{2}<0$

------------е изпълнено за поне една стойност на $a$ от интервала $[-1;2]$

eStoyanov_MathForum

Задачите!

Задачите!