Решение на задача 10.1 от НОМ-2011, втори кръг

[estoyanov]

Решението:

Би могло да се помисли и за обобщение, нали?
P.S. Чертежа не е абсолютно точен, но това не е от значение за решението на задачата!

[estoyanov]

Обещаното обобщение на задачата:

Намерете стойностите на реалните параметри и , за които неравенството няма решение в интервала , където е произволно реално число.

Отговор: ,

Възможно е задачата да се обобщи още!!!

[r2d2]

Първо ще докажем, че ако ( e абсцисата на върха на параболата ), то като равенство имаме само ако .
Наистина .

Aналогично се доказва, че ако , то .

Искаме за .
Да допуснем, че , тогава от доказаното по-горе имаме , което е невъзможно. Аналогично се доказва, че не е възможно и .
Остава , т.е. . После лесно намираме и .
Решението е на Росен Николов

[estoyanov]

Според мен, това също е "нечовешко" решение! Но е много по-близо до човешкото от авторовото решение!!!