eStoyanov_MathForum

от **r2d2** » 03 Апр 2011 12:37

Нека $ABC$ e остроъгълен триъгълник. Докажете, че $tg \measuredangle BAC.tg\measuredangle ABC=3 \Leftrightarrow OH || AB$ , без никаква тригонометрия!
(Изискването за остроъгълен е излишно, а да не се ползва тригонометрия си е от мен.)

от **ganis** » 06 Апр 2011 09:31

1) $OH||AB=>S_{AOB}=S_{AHB}=>OF=HD=x$ , но $CH=2OF=>CH=2x$ ; $HD=DP=x$

$AD. DB=CD. DP=>AD. DB=3x^2$

$tg\alpha .tg\beta =\frac{CD}{ AD} .\frac{CD}{ DB} =\frac{3x.3x}{3x^2 } =3$

2) $tg\alpha tg\beta =3=>\frac{CD^2}{ AD.BD} =3=>\frac{CD^2}{CD.DP } =3=>\frac{CD}{ DP} =3=>DP=x; CD=3x=>DH=x;$

$CD=2x=>OF=x =>OH||AB$

eStoyanov_MathForum

Ако искате да се регистрирате, направете запитване на: http://eStoyanov.net

Зад. 1 от втори кръг на турнира Б. Боянов

Зад. 1 от втори кръг на турнира Б. Боянов

Re: Зад. 1 от втори кръг на турнира Б. Боянов

Кой е на линия