Дъска със задачи!!!

От admin на 5th January, 2010

ВАЖНО!!!

Ако искате да оставите коментар, регистрирайте се в мястото за ВХОД(LOGIN)!

Задача 1.

На чертежа AM=MB и \angle ACM=\angle ABC=2\alpha , а \angle MCB=\alpha . Пресметнете големината на \alpha .


Идеята е следната.След като имаме ъгъл \alpha и ъгли 2\alpha , логично е да построим ъглополовящите CK,BKна съответните ъгли. Какво да правим след това? Ми логично е да свържем така получената точка К с точките М и А, нали? Не питайте какво стана с ромба KCNM! Той няма да ни трябва за сега. Ако се вгледаме добре, ще забележим, че отсечката KM се вижда от точките В и С под един и същи ъгъл и тези точки са от една и съща полуравнина относно тази отсечка. Това означава, че около четириъгълника CKMB смело можем да опишем окръжност или поне да си мислим, че сме описали такава, нали! :) Това пък води до равенство на отсечките CK и MB, тъй като на тях се опират равни вписани ъгли в таку що описаната окръжност ( Не тази на чертежа!!! За нея ще стане въпрос накрая!) Отсечката КМ също е равна на тях, тъй като и на нея се опира вписан ъгъл със същата мярка, като на току що споменатите. Това означава, че в триъгълника АВК медианата е половинката от страната към която е построена, т.е триъгълникът АВК е правоъгълен!
Сега идва най-трудният момент в задачата! Да се сетим да спуснем перпендикуляр от К към АС! Сега триъгълниците АВК и КСН са подобни по два ъгъла, а хипотенузата на втория е половината от хипотенузата на първия. Това означава, че и НК е половината от АК, т.е в триъгълника АКН ъгълът при върха А е 30 градуса! Хитро, нали?! :) Какво следва от това – друг път!

15.01.2010 Продължаваме!
Вече е ясно, че \angle BAC=90^{^\circ}-\alpha +30^{^\circ}. Същият този ъгъл, от друга страна е 180^{^\circ}-5\alpha . Приравнявайки двата резултата, получаваме и търсената стойност за алфа!

Нова задача 2, която следва от предишната!



Нова задача 3, която не следва от предишната, а е за домашно на сипа по математика!

Вписаната в триъгълник ABCокръжност с център I се допира до страните АС и ВС съответно в точки N и M. Външно вписаната в АВС окръжност с център I_{c}, която се допира до АВ, се допира до продълженията на АС и ВС съответно в точки K и L. Ако правата AI пресича MN в точка Y, а правата AI_{c} пресича KL в точка X, докажете, че AXBY е правоъгълник, XY пресича АВ в средата и XY||AC.

Нова задача 4 :

Намерете ГМТ в остроъгълен триъгълник АВС (по контура или вътрешността), за които едно от разстоянията им до страна на триъгълника е равно на сбора на разстоянията до другите две страни на триъгълника.

Още една нова задача:

Нека О е център на описаната около остроъгълния триъгълник АВС окръжност. Ако M, N и К са точки съответно от страните ВС, СА и АВ на триъгълника и отсечките АМ, BN и СК минават през О, да се докаже равенството

\frac{1}{AM }+\frac{1}{BN }+\frac{1}{ CK}=\frac{2}{R }

, където R е радиусът на описаната окръжност.

Публикувано в: Математика, риболов, поезия.
Tagged with: no tags.

10 коментара на “Дъска със задачи!!!”

  1. admin says:
    27/01/2010 at 9:39 am

    Упътване към задача 2: Докажете, че \angle ACM= \angle MBC = 2 \angle MCB като преди това докажете, че MBCK е вписан четириъгълник. По този начин задачата се свежда до предишната!

  2. k.bucovsky says:
    05/03/2010 at 12:26 am

    Задача 4 е много интересна, тъй като е от доста общ характер. В math10 се разви интересна дискусия, бяха показани и добри решения. Обаче, този проблем съществува ли и в по-широки разновидности – в смисъл, има ли възможност за общ метод за сравняване на елементите на педалния триъгълник? Примерно, изследването на min и max вече има доста резултати, при това забележителни точки – точката, за която сумата от квадратите на перпендикулярите, спуснати към страните на \triangle ABC е минимална, е точката на Лемоан. Известно е и за първата точка на Ферма-Торичели (вътрешната), че при нея сборът от разстоянията от точката до върховете на \triangle ABC е минимална. да не говорим за двата изодинамични центъра, чиито педални триъгълници са равностранни…
    Та, в крайна сметка, как Ви хрумна задача 4 и имате ли идея дали не може да се направи някакво по-сериозно обобщение?
    Поздрави от НПМГ :)

    • admin says:
      07/04/2010 at 9:48 am

      Хрумването за тази задача не беше кой знае какво! :) Просто съм срещал на няколко места задачата, че ако една точка е от отсечката, свързваща пресечните точки на две от ъглополовящите със страните, то едното разстояние е равно на сбора на другите две. Мисля, че за първи път видях тази задачка в сп. Математика в школе преди около 20 години, а след това и в други материали. Между другото, задачата не е дорешена в онзи форум, защото не е доказано, че това са всички точки с това свойство. Мога да ти кажа още за педалния триъгълник, че неговото лице не надминава \frac{1}{4 }от лицето на основния триъгълник и че периметърът му е по-малък или равен от поне един от периметрите на страничните триъгълници и по-голям или равен от поне един от периметрите на страничните триъгълници. Това последното е оригиналната формулировка на задача G7 от шортлиста на МОМ 2001, но там условието е малко променено от Олег Мушкаров и Сава Гроздев с цел да се объркат решаващите! Не знам дали тази промяна не провали задачата или напротив?! Между впрочем, това, че поне един от страничните триъгълници има периметър, по-малък или равен на периметъра на педалния е вярно и когато вътрешния триъгълник не е педален, а просто вписан. Другото е новото в мойта задачка за МОМ. Иначе и двете следват от това, че можем да допълним педалния триъгълник с четвърта точка до успоредник, разположен изцяло в първоначалния триъгълник! Това може да прочетеш тук-http://estoyanov.net/files/statii///statia2.pdf. Но ти може би вече си го направил! :)

  3. overload says:
    23/03/2010 at 4:43 pm

    може ли някой да ми реши едно параметрично уравнение
    x|x – 2a|= a+1

    от учебника за 12 клас на Просвета е

    Благодаря!

    • admin says:
      07/04/2010 at 9:14 am

      Нека f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}-2ax,x\ge2a \\-x^{2}+2ax,x<2a \end{matrix}\right.
      Разгледай случаите когато а-то е нула по-малко от нула или по-голямо от нула и построи графиката на тази функция. След това, съобрази, че графиката на дясната страна на равенството е права, успоредна на абсцисата и минаваща през точка с координати (0;a+1) и виж кога се пресичат в една, две или три точки и намери съответните решения!

      • overload says:
        19/04/2010 at 10:59 pm

        чак сега видях отговора. точно с графики се опитвах, но не се сетих да разглеждам отделни случаи за а. Благодаря!

  4. asen says:
    01/06/2010 at 11:16 pm

    Дадени са n броя точки в равнината. Никои три от тях не лежат на една права. Всяка точка е свързана с всяка друга.
    Какъв е броя на триъгълниците с върхове дадените точки?

  5. admin says:
    02/06/2010 at 5:09 am

    Първо намираш броя на отсечките. Той е \frac{n,(n-1)}{ 2} ,защото всяка точка можем да свържем с n-1(останалите)и всяка отсечка се брои по 2 пъти(един път от единия край и после от другия!). След това взимаме една от тези отсечки. Тя може да образува триъгълник с всяка от точките, които не са и краища, т.е n-2триъгълника. Тогава броят на всички триъгълници е \frac{n.(n-1).(n-2)}{6 } , защото всеки триъгълник се брои по три пъти (от всяка страна!). Това не е нищо друго освен комбинация от n елемента трети клас, защото от n предмета избираме 3 без да има значение редът на избиране. Но ти сигурно не си учил за комбинации, след като питаш за тази задачка. За това ти я обясних по горния начин. Сега вече ще знаеш формулата за броя на начините, по които от n произволни обекта(в случая точки) можеш да избереш три без да е от значение редът на избиране! :)

  6. sosolini says:
    05/06/2010 at 9:21 pm

    сори че пиша тук но не знам къде другаде тъй като нещо не ми дава да пиша по форума:)
    някой може ли да ми даде линк с класирането или отговорите на задачите( и решението на 7ма) от темата за 7-8 клас на математическото състезание европейско кенгуру втори(национлаен кръг) 2010 година

Ако искаш, остави коментар в полето за коментари, но преди това въведи двете думи най-отдолу на страницата и след това натисни бутона за изпращане!

Трябва да си регистриран за да оставиш коментар.